ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

- функции, связанные с обращением эллиптических интегралов (более строгое определение см. ниже). Подобно тому как простейшая тригонометрич. ф-ция и=sinx является обратной по отношению к интегралу

5124-36.jpg

так одна из Э. ф. Якоби u =sn(x; k) =snx является обрат-ной по отношению к эллиптич. интегралу I рода

5124-37.jpg

(k - постоянная, наз. модулем). Чтобы определить остальные Э. ф. Якоби, заменяют в (1) т на sina и получают

5124-38.jpg

Ф-ция, обратная х, наз. а м п л и т у д о й и обозначается f=amx (она не является Э. ф.); через неё snx выражается так:

5124-39.jpg

и потому наз. с и н у с о м а м п л и т у д ы или э л л и п т и ч е с к и м с и н у с о м. Две другие Э. ф. Якоби - к о с и н у с а м п л и т у д ы (или э л л и п т и ч. к о с и н у с) и д е л ь т а а м п л и т у д ы:

5124-40.jpg

Все эти ф-ции были введены и изучены H. Абелем (N. Abel, 1827) и К. Якоби (С. Jacobi, 1829). Ф-ции snx, cnx,dnx связаны двумя алгебраич. соотношениями:

5124-41.jpg

На рис. 1 представлен вид графиков Э. ф. Якоби для вещественного x (при условии 0<k<1); здесь

5124-42.jpg

-полный эллиптич.интеграл I рода и 4 К -основной период Э. ф. snx.B отличие от однопериодич. ф-ции sinx, ф-ция sn x -двоякопериодическая. Её второй основной период равен 2iK', где

5125-1.jpg

и k'=5125-2.jpg - дополнит. модуль.

Э. ф. Вейерштрасса (пэ-функция) и=5125-3.jpg( х )может быть определена как обратная интегралу

5125-4.jpg

(g2. и g3 наз. инвариантами). При этом предполагается, что нули e1 е2 и е3. многочлена 4t3- g2t-g3. различны между собой [в противном случае интеграл (2) выражался бы через элементарные ф-ции]. Если, в частности, числа е1 е2, е3 вещественны и различны [это будет при условии, что g2 и g3- вещественные числа и D = (l/16)(g23-27g32)>0], причём e1 > е2> е3, то

5125-5.jpg

и

5125-6.jpg

будут основными периодами Э. ф. 5125-7.jpg(z). Эта ф-ция принимает тогда действительные значения не только при z = x, но и при z = w1 + iy, z = x+ iw3 и z = iy, на рис. 2 представлены соответствующие графики. Если z описывает прямоугольник 0< х1, 0w3/i, то w=5125-8.jpg(z) описывает нижнюю полуплоскость, причём соответствие между z и w является взаимно однозначным и конформным. С sn(z; k )ф-ция 5125-9.jpg(z) связана зависимостью

5125-10.jpg

О б щ и е с в о й с т в а э л л и п т и ч. ф у н к ц и й. Э. ф.- любая мероморфная (см. в ст. Аналитическая функция) двоякопериодич. ф-ция f(z). Пусть 2w1 и 2w3 (отношение w3:w1 мнимое) -основные периоды ф-ции f(z), тогда f(z + 2w1 т +2w3n) =f(z )при т, n=0, b1, +2, .... В силу этого достаточно изучить f(z) в каком-либо параллелограмме её периодов Р (рис. 3); к Р кроме его внутр. точек причисляются точки сторон ОА и ОБ, исключая вершины А и В. Имеют место след. теоремы Лиувилля: сумма, разность, произведение и частное Э. ф. есть Э. ф.; производная Э. ф. есть Э. ф.; если Э. ф.5125-13.jpgconst, то число N полюсов в Р учётом кратности полюсов)>=2; ур-ние f(z) = а при любом а имеет N корней в Р; суммы корней для двух разных а могут различаться только на нек-рый период W = 2w1m + 2nw3. Построим функции:

5125-14.jpg

где П' и S' - знаки произведения и суммы, распространённые на все периоды W5125-15.jpg0. Функция s(z)-простейшая целая функция, имеющая нули 1-го порядка во всех точках W (т. н. сигма-функция), z(z) и 5125-16.jpg(z)-простейшие мероморфные функции, имеющие полюсы в W соответственно 1-го и 2-го порядков. Пусть a1 ..., aN и b1, ..., bN -нули и полюсы Э. ф. f(z), принадлежащие Р (кратные нули и полюсы выписываются столько раз, какова их кратность), тогда f(z) имеет вид

5125-17.jpg

где С0 постоянная и b'N = (a1 + ... + aN)-(bl+...+ bN-1). Если b1, ..., bn - различные между собой полюсы f(z) и 5125-18.jpg1 ...,5125-19.jpgn -их порядки (5125-20.jpg= N), причём главная часть разложения f(z) в окрестности bk есть

5125-21.jpg

то

5125-22.jpg

где С- постоянная; формулы (3) и (4), принадлежащие К. Вейерштрассу (К. Weierstrab), аналогичны формулам, представляющим рациональную функцию в виде частного двух произведений линейных множителей (многочленов) либо в виде суммы простейших дробей; на них основывается вся теория Э. ф.

5124-43.jpg

Рис. 1.

5125-11.jpg

5125-12.jpg

К идее обращения эллиптич. интегралов впервые пришёл К. Гаусс (С. Gauss), получивший мн. результаты теории Э. ф. ещё в кон. 18 в. (1797 и последующие годы), но не публиковавший их. Фактически основателями Э. ф. являются Абель и Якоби. Последний дал развёрнутое изложение теории Э. ф., названных его именем (они были введены Абелем). В 1847 Ж. Лиувилль (J. Liouville) опубликовал изложение основ теории Э. ф., рассматриваемых как мероморфные двоякопериодич. функции; это изложение-пример применения к теории Э. ф. начал теории аналитич. функций комплексного переменного, развитых О. Коши (A. Cauchy).

Вейерштрасс пришёл к своим функциям s(z), z(z),5125-23.jpg(z), по-видимому, ещё в 40-х гг. 19 в. [аналогичные функции встречаются в работах Ф. Эйзенштейна (F. Eisenstein, 1847) и др. учёных]. Краткое изложение теории Э. ф. в обозначениях Вейерштрасса было опубликовано Г. Шварцем (Н. Schwartz, 1883-84). Необходимо также отметить работы Ш. Эрмита (Ch. Hermit), получившего с помощью Э. ф. решение общего алгебраич. уравнения 5-й степени.

Лит.: Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, 2 изд., М., 1970; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968. А. И. Маркушевич.


Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия..1988.



Физическая энциклопедия 

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ →← ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ

T: 0.146349303 M: 3 D: 3