- особая симметрия физ. системы, состоящая в том, что изменение масштабов независимых переменных может быть скомпенсировано преобразованием подобия др. динамич. переменных. А. приводит к эфф. сокращению числа независимых переменных. Напр., если состояние системы характеризуется ф-цией и(х, t), где х - координата, t - время, то условие инвариантности относительно изменения масштабов x'-kx, t'=lt и преобразования подобия таково:
,
где - числа. Выбор , где m - подобия критерий (параметр), придаёт первонач. ф-ции автомодельный вид
.
Т. о., ф-ция и при постоянном т зависит только от комбинации . А. возможна, если набор параметров, определяющих состояние системы, не содержит характерных масштабов независимых переменных. Поскольку в большинстве задач форма преобразования подобия заранее неизвестна, автомодельную подстановку надо в каждом случае находить отдельно. Для этого имеются 3 способа:
1. Размерностей анализ. Состояние системы характеризуется набором размерных параметров и ф-ций, зависящих от координат х, у, z и времени t. Если один из безразмерных критериев подобия имеет вид , где b - параметр, имеющий размерность , Х 0, Т 0 - характерные длина и промежуток времени, L, Т - единицы длины и времени соответственно, то в качестве автомодельных переменных можно выбрать безразмерные комбинации ,, .В том случае, когда имеется не более двух определяющих параметров с независимыми размерностями, отличными от длины и времени, переход к автомодельным переменным превращает ур-ние с частными производными в обыкновенное дифференц. ур-ние.
2. Непосредственный подбор. Формально вводится автомодельная замена переменных или, в более общем виде, , . Ур-ния, начальные и граничные условия должны иметь структуру, допускающую такую замену. Решение существует не для любых значений и не для любых ф-ций . Для получения подходящих значений необходимо решить нелинейную задачу на собств. значения.
3. Исследование групповых свойств ур-ний. Рассмотрим систему дифференц. ур-ний с частными производными 1-го порядка =0, где -независимые переменные, -искомые ф-ции, Всевозможные замены переменных , допускаемые системой, образуют группу Ли. Автомодельные замены являются её однопараметрич. подгруппой растяжений. В нек-рых случаях найти такие замены позволяет след. процедура.
В пространстве переменных группа Ли задаётся своими генераторами, имеющими общий вид X=, где -нек-рые ф-ции переменных х, и; по повторяющимся индексам производится суммирование. В пространстве переменных группа Ли задаётся генераторами , где
. Система ур-ний определяет гиперповерхность в пространстве переменных , к-рая является инвариантом группы при условии , когда ; эти условия служат для определения ф-ций и .
Комбинации переменных, дающие искомую замену, являются первыми интегралами ур-ния . Напр., для двух независимых переменных x, t и одной искомой ф-ции и оператор растяжений имеет вид - числа. Набор первых интегралов ур-ния таков: , поэтому автомодельное решение ур-ний, допускающих группу растяжений, будет иметь вид , -новая искомая ф-ция.
Рассмотрим, напр., Кортевега - де Фриса уравнение , где -пост. параметр; оно инвариантно относительно преобразования , . Генератор -оператор растяжений, и автомодельное решение имеет вид
Подставляя это решение в исходное ур-ние, получаем обыкновенное дифференц. ур-ние для ф-ции :
Однопараметрич. группа растяжений абелева. Если система допускает решения, построенные на др. одно-параметрич. абелевых подгруппах, то подходящей заменой этим решениям можно придать автомодельный вид, что является следствием подобия этих групп. В частности, автомодельные движения тесно связаны с нелинейными бегущими волнами, т. е. решениями вида , для к-рых место преобразования подобия занимает преобразование сдвига. Замена х=, , переводит волновое решение f в автомодельное:
А., отражающая внутр. симметрию, присуща многим явлениям и используется при решении разл. физ. задач, особенно в механике сплошных сред (см. Автомодельное течение).
Метод ренормализационной группы в квантовой теории поля, по существу, также основан на использовании автомодельного преобразования переменных. Интересно, что в автомодельных переменных ур-ние ренормгруппы оказывается тождественным одномерному ур-нию переноса излучения. В физике элементарных частиц А. выражается в том, что сечения нек-рых процессов при высоких энергиях зависят лишь от безразмерных автомодельных комбинаций импульсов. Общие принципы квантовой теории поля допускают широкий класс таких автомодельных асимптотик.
Лит.: Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, 9 изд., М., 1981; Боголюбов Н. Н., IIIирков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984; Биркгоф Г., Гидродинамика, пер. с англ., М., 1963; Овсянников Л. В., Групповой анализ дифференциальных уравнений, М., 1978; Арнольд В. И., Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., 1978, гл. 1; Баренблатт Г. И., Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика, 2 изд., Л., 1982.
В. Е. Рокотян.
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.
Смотреть больше слов в «Физической энциклопедии»
АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ, особая симметрия физической системы, состоящая в том, что изменение масштабов независимых переменных, описывающих системы, может быть скомпенсировано преобразованием подобия (см. Подобия теория) др. динамических переменных. Автомодельность присуща многим физическим системам и существенно упрощает описание явлений в этих системах (напр., в аэромеханике и физике элементарных частиц). См. также Подобие физическое, Подобия критерии.<br><br><br>... смотреть
АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ, особая симметрия физической системы, состоящая в том, что изменение масштабов независимых переменных, описывающих системы, может быть скомпенсировано преобразованием подобия (см. Подобия теория) др. динамических переменных. Автомодельность присуща многим физическим системам и существенно упрощает описание явлений в этих системах (напр., в аэромеханике и физике элементарных частиц). См. также Подобие физическое, Подобия критерии.<br><br><br>... смотреть
АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ - особая симметрия физической системы, состоящая в том, что изменение масштабов независимых переменных, описывающих системы, может быть скомпенсировано преобразованием подобия (см. Подобия теория) др. динамических переменных. Автомодельность присуща многим физическим системам и существенно упрощает описание явлений в этих системах (напр., в аэромеханике и физике элементарных частиц). См. также Подобие физическое, Подобия критерии.<br>... смотреть
АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ , особая симметрия физической системы, состоящая в том, что изменение масштабов независимых переменных, описывающих системы, может быть скомпенсировано преобразованием подобия (см. Подобия теория) др. динамических переменных. Автомодельность присуща многим физическим системам и существенно упрощает описание явлений в этих системах (напр., в аэромеханике и физике элементарных частиц). См. также Подобие физическое, Подобия критерии.... смотреть
АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ, особая симметрия физической системы, состоящая в том, что изменение масштабов независимых переменных, описывающих системы, может быть скомпенсировано преобразованием подобия (см. Подобия теория) др. динамических переменных. Автомодельность присуща многим физическим системам и существенно упрощает описание явлений в этих системах (напр., в аэромеханике и физике элементарных частиц). См. также Подобие физическое, Подобия критерии.... смотреть
- особая симметрия физической системы, состоящая в том,что изменение масштабов независимых переменных, описывающих системы, можетбыть скомпенсировано преобразованием подобия (см. Подобия теория) др.динамических переменных. Автомодельность присуща многим физическимсистемам и существенно упрощает описание явлений в этих системах (напр., ваэромеханике и физике элементарных частиц). См. также Подобие физическое,Подобия критерии.... смотреть
особая симметрия физ. системы, состоящая в том, что изменение масштабов независимых переменных, описывающих систему, может быть скомпенсировано преобра... смотреть
1) <phys.> dimensional counting rules2) scaling3) self-similarity
ж.self-similarity- автомодельность течения
автомоде́льность ж.self-similarity* * *self-similarity
(движения) Selbstähnlichkeit
эн. ф.аст. мех. вод.х. автомодельділік
〔名词〕 自相似自造型性
автомодельділік
автомоделділік
мех. ұқсастық критерийі бойынша автомодельділік
мех. ұқсастық саны бойынша автомодельділік
вод.х. рейнольдс саны бойынша автомоделділік
Рейнольдс саны бойынша автомоделділік
ф.аст. жуық автомоделдік
self-similarity of flow
ф.аст. функционалдық автомоделдік
ф.аст. ішінара автомоделдік