ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

- одна из важнейших предельных теорем вероятностей теории, описывающая асимптотику при больших N распределения вероятностей суммы N случайных величин.

Наиб. просто Ц. п. т. формулируется для суммы

5086-17.jpg

N первых членов бесконечной последовательности независимых и одинаково распределённых случайных величин

5086-18.jpg

в предположении, что существуют, по крайней мере, два первых момента у каждой величины:

5086-19.jpg

(и эти моменты одинаковы для всех n). Согласно наиб. простой предельной теореме теории вероятностей - больших чисел закону, случайная величина

5086-20.jpg

с вероятностью, близкой к единице, принимает значения порядка o(N )при N5086-21.jpg. Более точно это означает, что для любого e>0 вероятность

5086-22.jpg

при N5086-23.jpg Ц. п. т. значительно уточняет соотношение (5) при малых (по сравнению с N) значениях VN: для любых конечных а и b вероятность того, что

5086-24.jpg

имеет асимптотику

5086-25.jpg

или, иначе говоря, вероятности конечных (порядка константы) значений величины VN/5086-26.jpg.(s2 = = т2221- дисперсия xn) распределены прибл.по стандартному нормальному гауссовскому закону (со средним 0 и дисперсией 1). Из (4) и (6) следует, что при больших N сумма SN имеет вид

5086-27.jpg

где x0 -стандартная нормальная случайная величина. Утверждение (7) называют обычно Ц. п. т. в и н т е г р а л ьн о й ф о р м е. В нек-рых случаях удаётся установить не только асимптотику вероятности попадания значений VN/5086-28.jpg. на конечный интервал ( а, b), но и асимптотику самих вероятностей этих значений (для случайных величин xn с дискретным множеством значений) или асимптотику плотности их вероятностей р N )(для непрерывно распределённых xn):

5086-29.jpg

Утверждения этого типа [более тонкие, чем (7)] наз. л ок а л ь н ы м и Ц. п. т. Следует подчеркнуть, что асимптотика (7) или (9) имеет смысл для конечных (порядка 1) значений VN/5086-30.jpg. Вероятности значений VN/5086-31.jpg. порядка, растущего с N, a именно порядка Na. для a>0, описываются асимптотикой (7) очень грубо и нуждаются в более тонком оценивании. Соответствующие предельные теоремы в теории вероятностей наз. теоремами о больших отклонениях.

Условия (3) очень существенны. Предельная асимптотика для сумм вида (1), где xn не имеют второго (а также первого) момента, задаётся совершенно другими (отличными от нормального распределения) законами, т. н. устойчивыми распределениями.

Укажем более общие ситуации, для к-рых остаётся верной Ц. п. т. (7) (или 9):

- в случае, когда величины x1, x2, ..., xn,... распределены не одинаково, и при условии, что у этих величин существуют оба первых момента (3), а также при дополнит. условии нек-рой равномерности (условие Линдеберга, см. [1]);

- если требование независимости величин xi, i=1, 2, ... нарушено, но сохраняется в определ. смысле "слабая" зависимость "далеко отстоящих" друг от друга величин xi и xj, когда |i-j| - велико (более точно см. [2]);

- можно рассматривать не только последовательности случайных величин, но и более общие их совокупности, скажем, случайные поля {xt, t5086-32.jpgZv на v -мерной решётке. Пусть выполнены условия (3) и величины xt и xs, t, s5086-33.jpgZv, при больших |t - s|"слабо зависимы". Тогда для любого достаточно большого и "регулярного" конечного множества L5086-34.jpgZv суммы

5086-35.jpg

асимптотически имеют вид:

5086-36.jpg

st2 - дисперсия xt (см. [3]);

- кроме сумм величин из одной и той же бесконечной последовательности (2) можно рассматривать т. н. схему серий, т. е. бесконечную совокупность конечных последовательностей:

5086-37.jpg

растущей длины, ns5086-38.jpg, s5086-39.jpg. Тогда для суммы

5086-40.jpg

при определ. условиях также верна Ц. п. т.

Лит.:1) Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 6 изд., М., 1988; 2) Ибрагимов И. А., Линник Ю. В., Независимые и стационарно связанные величины, М., 1965; 3) Нахапетян Б. С., Центральная предельная теорема для случайных полей, удовлетворяющих условию сильного перемешивания, в сб.: Многокомпонентные случайные системы, М., 1978, с. 276. Р. А. Минлос.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия..1988.



Физическая энциклопедия 

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИЛА →← ЦЕНТР УДАРА

T: 0.116914763 M: 3 D: 3