УСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНОВ

- раздел теории устойчивости движения, изучающий эволюцию солитонов, подверженных нек-рому возмущению в нач. момент времени. В зависимости от тииа возмущения и способа его описания различают неск. видов У. с. На практике обычно ограничиваются рассмотрением малых возмущений, т. е. линеаризуют ур-ния движения. Однако такой подход не всегда даёт правильный ответ, как было показано ещё А. М. Ляпуновым, разработавшим строгий метод исследования устойчивости- прямой метод. В применении к солитонам этот метод известен в неск. вариантах: энергетич. метод Арнольда, функциональный метод Захарова - Кузнецова и др. Эти методы отличаются лишь способом доказательства существования минимума функционала Ляпунова.

1. Основные определения и теоремы прямого метода. Под солитонами будем понимать регулярные локализованные решения исходных ур-ний, заданных в пpостранстве размерности D. Пусть поле 5049-57.jpg рассматриваемое как элемент банахова пространства В снормой d=||j||B, подчиняется ур-нию эволюции

5049-58.jpg

где 5049-59.jpg -нек-рый нелинейный оператор. Будем предполагать, что ур-ние (1) при заданных нач. условиях j(0, x)=j0(x) допускает единств. решение солитонного типа:

5049-60.jpg

где 5049-61.jpg -эволюционный оператор с полугрупповыми свойствами, т.е.

5049-62.jpg

Понятие устойчивости заданного невозмущённого движения (солитона) j=u(t, x) тесно связано с понятием корректности Коши задачи по Адамару. Чтобы его определить, введём две метрики в пространстве ф-ций, описывающие возмущения поля

5049-63.jpg

Именно, пусть метрика r0(x0) задаёт расстояние в пространстве нач. возмущений x0, а метрика r(x)-в пространстве текущих возмущений x. В обычных предположениях r0(x)>r(x) [говорят, что метрика r0 жёстче (сильнее), чем метрика r]. Задача Коши для ур-ния (1) наз. корректной по Адамару, если для любого 5049-64.jpg 5049-65.jpg из 5049-66.jpg следует 5049-67.jpg Солитонное решение и наз. у ст о й ч и в ы м в с м ы с л е Л я п у н о в а по метрикам r0, r, если для всякого e>0 существует d(e)>0 такое, что из r0(x0)t>0. Т. Т. Наконец, решение и а с и м п т о т ич е с к и у с т о й ч и в о п о Л я п у н о в у, если оно устойчиво и 5049-68.jpgпри 5049-69.jpg

Однако в физике солитонов приходится иметь дело не с одним солитонным решением u(t, x), а с нек-рым их множеством U={u}, задаваемым обычно групповыми параметрами a, т. е.

5049-70.jpg

где G - группа симметрии задачи, 5049-71.jpg -оператор представления (см. Представление группы). В таком случае текущая метрика понимается уже как 5049-72.jpg т. е. как расстояние от j до множества U-орбиты группы G, а устойчивость наз. о р б и т а л ь н о й.

На практике часто ограничиваются линеаризованными ур-ниями:

5049-73.jpg

Устойчивость для линейной задачи (2) наз. л и н е а р и з ов а н н о й у с т о й ч и в о с т ь ю или у с т о й ч и в о с т ь ю в п е р в о м п р и б л и ж е н и и, а для полного ур-ния (1) - н е л и н е й н о й у с т о й ч и в о с т ь ю. Ясно, что из нелинейной устойчивости вытекает устойчивость в первом приближении, но, вообще говоря, в более слабой метрике. Обратное же верно, если только 5049-74.jpg 5049-75.jpg где 5049-76.jpg - спектр оператора 5049-77.jpgПри этом говорят о с п е к т р а л ьн о й у с т о й ч и в о с т и, если Re l<=0, и о н е й т р а л ь н о й, если Rel=0

Заметим, что из линеаризованной устойчивости вытекает спектральная, т. к. если бы было Rel>0 то существовали бы растущие моды. Обратное неверно, что подтверждается следующим примером из механики. Гамильтониан 5049-78.jpg приводит к ур-нию движения 5049-79.jpg для к-рого линеаризованное ур-ние 5049-80.jpg имеет спектр l=0 (нейтральная устойчивость). Однако его решение x =at+b линейно растёт, т. е. наблюдается линеаризованная неустойчивость, хотя исходная система нелинейно устойчива. Т. о., линеаризованная система оказывается устойчивой только по скоростям, или в более слабой метрике.

Известно также, что из спектральной неустойчивости для широкого класса систем вытекает нелинейная неустойчивость. Напр., это верно для систем (1) со свойством

5049-81.jpg

Cформулируем осн. тещрему прямого метода.

Те о р е м а Л я п у н о в а - М о в ч а н а о б у с т о й ч ив о с т и (1960). Для устойчивости решения u пренадлежит U по метрикам r0, r необходимо и достаточно, чтобы в нек-рой его окрестности r0<a существовал ф у н к ц и о н а л Л я п у н ов а V[j] со следующими свойствами: V положительно определён по метрике r, непрерывен по метрике r0, не растёт со временем вдоль траектории движения.

Условия теоремы означают, что существуют две непрерывные монотонно растущие ф-ции m(r)>0 и 5049-82.jpg 5049-83.jpg называемые соответственно нижней и верхней ф-циями сравнения, такие, что справедливы неравенства

5049-84.jpg

Пусть r0 откуда rдвижение устойчиво.

Выбор метрик r и r0 диктуется видом функционала Ляпунова. Пусть V- аддитивный функционал, т. е.

5049-86.jpg

и решение и является его критич. точкой. Тогда 5049-87.jpg и поэтому справедливо представление

5049-88.jpg

Если же V- глобально выпуклый функционал, то 5049-89.jpg Это позволяет выбрать в качестве текущей метрики

5049-90.jpg

В этом и состоит м е т о д В. И. А р н о л ь д а (1965), в к-ром полагается V=H+C где H -гамильтониан (энергия), а С- нек-рый интеграл движения (инвариант Казимира), выбираемый так, чтобы dV[u]=0 Т. о., выбор метрики определяется структурой d2V, согласно (5). Отметим, что представление (4) удобно в тех случаях, когда ур-ния движения содержат вторую производную по времени.

Часто используется также понятие ф о р м а л ь н о й, или э н е р г е т и ч е с к о й, у с т о й ч и в о с т и, когда существует закон сохранения

5049-91.jpg

или закон эволюции 5049-92.jpg такие, что в окрестности изучаемого решения 5049-93.jpg Ясно, что из энергетич. устойчивости вытекает линеаризованная, т. к. в силу линеаризованных ур-ний эволюции 5049-94.jpg и чтобы убедиться в устойчивости, достаточно взять 5049-95.jpg Однако обратное неверно, что подтверждается примером из механики, когда гамильтониан имеет вид :

5049-96.jpg

Линеаризованная устойчивость в этом примере очевидна (два независимых осциллятора), но квадратичная форма 5049-97.jpg знакопеременна.

Наконец, говорят об у с т о й ч и в о с т и в ц е л о м или г л о б а л ь н о й у с т о й ч и в о с т и, если система устойчива для любых, как угодно больших, значений r0, r Это наиб. сильная устойчивость.

Осн. критерий неустойчивости даётся следующей теоремой.

Т е о р е м а Ч е т а е в а - Мовчана о н е у с т о й ч и в ос т и (1960). Для неустойчивости решения 5049-98.jpgпо метрикам Ро, р необходимо и достаточно, чтобы существовал функционал Четаева W[j] со следующими свойствами: W непрерывен по метрике r0, ограничен по метрике r, растёт со временем вдоль траектории движения в области W>0. Т. о., смысл теоремы состоит в том, что обеспечивается существование таких нач. возмущений, к-рые выводят систему из заданного режима движения.

Осн. задача исследования У. с. прямым методом состоит в отыскании соответствующих функционалов V или W. Если функционал Ляпунова выбран, то предстоит убедиться в его выпуклости, т. е. в выполнении условия 5049-99.jpg , Однако на практике в лучшем случае удаётся проверить лишь локальное условие 5049-100.jpg Т. о., представляется необходимым изучить структуру второй вариации функционала Ляпунова. При этом выясняется, что в наиб. распространённом случае, когда солитонное решение u(t, х )стационарно, т. е. удовлетворяет ур-ниям

5049-101.jpg

где V- аддитивный функционал вида (4), для достаточно быстро убывающих на пространственной бесконечности солитонных конфигураций с асимптотикой типа

5049-102.jpg , вторая вариация 5049-103.jpg

при D>=2 знакопеременна в стандартной метрике 5049-104.jpg напр. в метрике 5049-105.jpg (т. н. обобщённая теорема Хобарта-Деррика).

Вышесказанное означает, что если ограничиться аддитивными функционалами Ляпунова (4), то возможно существование только условно-устойчивых многомерных стационарных солитонов, т. е. устойчивых лишь при нек-рых ограничениях на нач. возмущения x0. Такие ограничения возникают естественно для случая топологических солитонов., наделённых тождественно сохраняющимися интегральными характеристиками- топологическими зарядами, учёт к-рых упрощает анализ устойчивости. В связи с этим ограничимся распространённым случаем нетополо-гич. солитонов, для к-рых естественной оказывается орбитальная устойчивость.

Известно, что любые условия на возмущения можно ввести в определение метрики r, хотя это и приводит к усложнению анализа. Для описания условной устойчивости множества U стационарных решений удобно выделить какое-то одно из них и (или нек-рое их подмножество, задаваемое параметрами w), а все остальные рассматривать как порождённые им в результате действия преобразований из группы G инвариантности ур-ния (1). Пусть G0 - группа инвариантности функционала V в (4) и (6) с параметрами a0, являющаяся подгруппой группы G с параметрами a={a0, b} , где b -дополнит. параметры. В общем случае стационарное решение зависит как от групповых, a, так и негрупповых, w, параметров, т. е.

5049-106.jpg

При этом стационарные решения ур-ний (6) отвечают выбору b=b0 и образуют подмножество 5049-107.jpg Множество стационарных решений, отвечающее фиксированным параметрам b0, w=w0 обозначим 5049-108.jpg . Солитонную конфигурацию будем называть возмущённой, если 5049-109.jpg

При изучении орбитальной устойчивости естественно определить следующие метрики, задавшись нек-рой банат ховой нормой 5049-110.jpg

5049-111.jpg

Однако осуществляя в (7) минимизацию по параметрам, решения и, убеждаемся, что они становятся ф-циями времени, и поэтому предельная ф-ция 5049-112.jpg в общем случае может не быть решением ур-ний движения. Это приводит к непривычному для физиков образу соли-тона с "плавающими" параметрами ("солитона - моллюска"), что инициировало поиски альтернативного описания. Чтобы преодолеть это затруднение, заметим, что одной из мотиваций выбора метрик (7) было запрещение нулевых мод 5049-113.jpg и (где 5049-114.jpg- генераторы группы), отвечающих сдвигам по групповым параметрам и обращающих в нуль d2V В самом деле, для 5049-115.jpgиз (7) следует, что r1=0 Но последнего можно добиться и более про-стым способом. Напр., можно рассматривать пространство допустимых возмущений x как подпространство гильбертова пространства со скалярным произведением (,). выделенное условиями 5049-116.jpg, Др. путь состоит в том, чтобы выбрать нек-рыи достаточно удалённый момент-времени t=T и "остановить" возмущённый солитон, совершив подходящее групповое преобразование 5049-117.jpg 5049-118.jpg , а затем осуществить минимизацию метрики dg по 5049-119.jpg (или 5049-120.jpg ) и 5049-121.jpg Это определит параметры a( Т )и соответствующую метрику 5049-122.jpg В зависимости от выбора множества 5049-123.jpg или U0 получаются разные метрики [при фиксированных параметрах a=a(T)]:

5049-124.jpg

Практически же указанная процедура исключения нулевых мод осуществляется путём фиксации набора интегралов движения Qi (обобщённых зарядов) типа импульса Р, момента импульса L, числа частиц N, электрич. заряда Q и др. Устойчивость при фиксированных обобщённых зарядах Qi получила назв. Q -у с т о й ч и в о с т и. Для наиб. распространённого случая, когда система обладает единственным зарядом Q , справедлива т. н. Q -теорема.

2. Q -теорема. Рассмотрим простой для анализа случай, когда солитон описывается комплексным скалярным полем y в четырёхмерном пространстве-времени Минков-ского. Пусть невозмущённое решение ур-ний движения имеет вид

5049-125.jpg

где ф-ция и достаточно быстро убывает при 5049-126.jpg Рассмотрим класс моделей, удовлетворяющих требованиям релятивистской и U(1)-инвариантностей (для 5049-127.jpg 5049-128.jpg и задаваемых лагранжевой плотностью вида 5049-129.jpg

Здесь введены релятивистские инварианты 5049-130.jpg где 5049-131.jpg Построим также инвариантное множество U0 невозмущённых солитонных решений, представляющее собой совокупность орбит группы 5049-132.jpg включающей пространственные сдвиги, повороты и фазовые преобразования. Иными словами,

5050-1.jpg

где 5050-2.jpg -матрица 3-поворотов,5050-3.jpg 5050-4.jpg Подчеркнём, что частота w в множестве (9) не фиксирована.

Если возмущённый солитон описывать полем

5050-5.jpg то возмущение x определим как 5050-6.jpg Метрики r0, r выберем в виде

5050-7.jpg

где || ||- норма в 5050-8.jpg значок С обозначает совместную норму в 5050-9.jpg

5050-10.jpg

Изучим Q -устойчивость солитонных решений (8), наложив условие фиксации заряда, уже предполагающееся в определении (10):

5050-11.jpg

Введем удобные для дальнейшего обозначения:

5050-12.jpg

Выберем в качестве функционала Ляпунова интеграл движения

5050-13.jpg

где 5050-14.jpg -энергия поля. Его вторая вариация может быть представлена в виде

5050-15.jpg

где введены самосопряжённые операторы

5050-16.jpg

Из (12) следует, что для положительной определённости 5050-17.jpg необходимо выполнение неравенств Fp> 0, h >0. Оказывается, что безузловые солитоны (u>0) могут быть устойчивыми, тогда как узловые солитоны (для к-рых на нек-рых поверхностях u = 0) всегда неустойчивы. Заметим, что для безузловых солитонов спектр оператора 5050-18.jpg неотрицателен, т. к. 5050-19.jpg u>0, и поэтому и - первая собственная ф-ция оператора L^2, тогда как нулевая мода x2=u исключается выбором метрики r. Анализируя структуру второй вариации (12), можно установить справедливость следующей теоремы (Q -теоре-мы): безузловые стационарные решения (8) Q -устойчивы по Ляпунову в области

5050-20.jpg

если в ней оператор 5050-21.jpg имеет единств. отрицат. собств. значение, а собств. ф-ция y- удовлетворяет условию

5050-22.jpg

Условия Q -теоремы необходимы для устойчивости безузловых солитонов, что можно установить с помощью следующего функционала Четаева:

5050-23.jpg

где 5050-24.jpg Вычисляя его производную 5050-25.jpg,. находим:

5050-26.jpg

Отсюда следует, что в области 5050-27.jpg . т. е. имеет место неустойчивость солитонов.

Чтобы убедиться в неустойчивости узловых солитонов, заметим, что в этом случае возмущение x2 всегда содержит решение однородного ур-ния 5050-28.jpg , допускающего знакопеременный интеграл "энергии"

5050-29.jpg

т. к. оператор 5050-30.jpg имеет отрицат. собств. значения. Это видно из ур-ния 5050-31.jpg и наличия узлов у ф-ции и (r). Неустойчивость доказывается существованием функционала Четаева 5050-32.jpg для к-рого W>0 в области 5050-33.jpg

Рассмотрим примеры применения Q -теоремы для анализа устойчивости солитонов в D -мерном пространстве.

1) С т е п е н н а я м о д е л ь. В этом случае 5050-34.jpg и ф-ция и( х )удовлетворяет ур-нию

5050-35.jpg

к-рое имеет безузловое решение u(r) при условиях |w|<1,

5050-36.jpg

Выполнив в (15) замену переменных:

5050-37.jpg находим заряд Q(w) невозмущённого солитона:

5050-38.jpg

Из (16) следует, что условие (13) выполнено для частот

5050-39.jpg

Условие (14) также выполнено, т. к. 5050-40.jpg а ф-ция 5050-41.jpg как первая собств. ф-ция оператора 5050-42.jpg. Поэтому неравенство (17) определяет область устойчивости безузловых солитонов.

2) Л о г а р и ф м и ч е с к а я м о д е л ь задаётся ф-цией 5050-43.jpg и допускает решения вида

5050-44.jpg

Отсюда находим зависимость заряда от частоты:

5050-45.jpg

определяющую, согласно (13), область устойчивости:

5050-46.jpg

3) Шрёдингера уравнение нелинейное5050-47.jpg5050-48.jpg , допускает решения (8) с амплитудой u, подчиняющейся ур-нию (15) с переобозначением 5050-49.jpg Замена переменных 5050-50.jpg 5050-51.jpg позволяет найти заряд как ф-цию от w:

5050-52.jpg

Отсюда следует, что в области устойчивости 5050-53.jpg а при 5050-54.jpg солитоны неустойчивы. Это устанавливается с помощью функционала Четаева 5050-55.jpg

3. Метод Захарова - Кузнецова (1974). Метод состоит в доказательстве ограниченности снизу энергии консервативной системы при условии фиксации нек-рых дополнит. интегралов движения. Проиллюстрируем метод на последнем примере, показав, что интеграл энергии 5050-56.jpg в 5050-57.jpg оценивается снизу через заряд Q. В самом деле,

5050-58.jpg

Вводя обозначение I2k=||yk||2, k=1, 2,..., и используя неравенства

5050-59.jpg

приходим к оценке

5050-60.jpg

Если 5>3n, то правая часть этого неравенства имеет минимум при

5050-61.jpg

Поэтому энергия 5050-62.jpg при фиксированном I2= Q также имеет минимум, к-рый и реализуется на нек-рой стабильной конфигурации.

Используем метод Захарова - Кузнецова для доказательства существования стабильных солитонов ещё в двух распространённых моделях.

1) Кортевега - де Фриса уравнение(D=1)5050-63.jpg5050-64.jpg описывает волны на мелкой воде и допускает законы сохранения энергии

5050-65.jpg

и импульса 5050-66.jpg Используя неравенство Гальяр-до - Ниренберга-Ладыженской 5050-67.jpgполучаем оценку для энергии снизу:

5050-68.jpg

Минимизируя правую часть этого неравенства по 5050-69.jpg находим 5050-70.jpg Т. о., при фиксированном импульсе Р=I2 энергия ограничена снизу и имеет минимум, к-рый реализуется на нек-рой устойчивой конфигурации.

2) Кадомцева - Петвиашвили уравнение (D =2)

5050-71.jpg

рассматривается как двумерное обобщение ур-ния Кортевега- де Фриса и также допускает законы сохранения энергии

5050-72.jpg

и импульса 5050-73.jpg Воспользуемся неравенством Гёльдера 5050-74.jpgа также очевидными неравенствами

5050-75.jpg

объединяя к-рые, приходим к соотношению 5050-76.jpg позволяющему получить оценку для энергии снизу:

5050-77.jpg

Минимизируя правую часть в (18) по 5050-78.jpg получаем неравенство 5050-79.jpg означающее, что при фиксированном импульсе Р=I2 минимум энергии реализуется на нек-рой стабильной солитонной конфигурации.

4. Пример применения прямого метода в кинетической теории плазменных солитонов. Рассмотрим эл.-статич. приближение Власова - Пуассона в одномерном случае (D=1). Ур-ния для ф-ции распределения электронов f(t, x,u)и напряжённости электрич. поля в плазме E(t, х )в приближении тяжёлых ионов имеют вид (распределение ионов не зависит от времени)

5050-80.jpg

С учётом граничных условий

5050-81.jpg

в системе отсчёта, связанной с центром распределения 5050-82.jpg электрич. поле исключается:

5050-83.jpg

Пусть невозмущённое решение ур-ний (19) стационарно:

5050-84.jpg

где 5050-85.jpg -энергия электрона, m=sign u Т. f>0 , полагаем 5050-86.jpg считая c0 решением ур-ния

5050-87.jpg

где D^0=-u д x+E0 дu При этом возмущение 5050-88.jpg с учётом (20) и линеаризованного условия нормировки 5050-89.jpg удобно представить в виде

5050-90.jpg

считая, что j удовлетворяет линеаризованному ур-нию

5050-91.jpg

где введены операторы

5050-92.jpg

Из ур-ния (21) следует, что существует интеграл движения

5050-93.jpg

В случае e= -1 функционал (22) положительно определён, что говорит об устойчивости монотонных по энергии w распределений - теорема Ньюкомба - Гарднера (классич. пример: распределение Максвелла - Больцмана 5050-94.jpg . Покажем, что монотонные распределения глобально устойчивы, выбрав функционал Ляпунова

5050-95.jpg

где l-множитель Лагранжа, G(f) - нек-рая вспомогательная ф-ция, определяемая из условия стационарности V1. Из условия 5050-96.jpg находим 5050-97.jpgили, после дифференцирования по w, 5050-98.jpg Т. о., V1 - глобально выпуклый функционал. В частности, полагая 5050-99.jpg убеждаемся, что d2V1=2V>0

Однако если распределение f0 немонотонно по энергии, то функционал (22) знакопеременный, что говорит о неустойчивости. В самом деле, для функционала Четаева

5050-100.jpg

где F -решение вспомогат. ур-ния

5050-101.jpg

найдём, что 5050-102.jpg в области V<0. Т. о., немонотонные распределения неустойчивы по метрикам r0, r, где

5050-103.jpg

(Подробное изложение теории прямого метода Ляпунова и его приложений смотри в прилагаемом списке литературы.)

Лит.: Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, 2 изд., Л.- М., 1935; Зубов В. И., Методы А. М. Ляпунова и их применение, Л., 1957; Мовчан А. А., Устойчивость процессов по двум метрикам, "Прикл. матем. и мех.", 1960, т. 24, в. 6, с. 988; Жидков Е. П., Кирчев И. П., Устойчивость решений вида уединенных волн некоторых нелинейных уравнений математической физики, "ЭЧАЯ", 1985, т. 16, в. 3, с. 597; Рыбаков Ю. П., Устой-чивость многомерных солитонов в киральных моделях и гравитации, в кн.: Итоги науки и техники, сер. Классическая теория поля и теория гравитации, т. 2, М., 1991, с. 56; Benjamin Т. В., Stability of solitary waves, "Proc. Roy. Soc.", 1972, v. 328A, p. 153; Makhan- kov V. G., Dynamics of classical solitons (in non-integrable systems), "Phys. Repts", 1978, v. 35, № 1, p. 1; Holm D. D. [a.o.], Nonlinear stability of fluid and plasma equilibrium, "Phys. Repts", 1985, v. 123, № 1 -2, p. l; Shatah J., Strauss W., Instability of nonlinear bound states, "Comm. Math. Phys.", 1985, v. 100, № 2, p. 173; Kuzne- tsov E. A., Rubenchik A. M., Zakharov V. E., Soliton stability in plasmas and hydrodynamics, "Phys. Repts", 1986, v. 142, № 3, p. 103; Grillakis M., Shatab J., Strauss W., Stability theory of solitary waves in the presence of symmetry. I, II, "J. Funct. Anal.", 1987, v. 74, № 1, p. 160; 1990, v. 94, № 2, p. 308. Ю. П. Рыбаков.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия..1988.



Физическая энциклопедия 

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ →← УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ

T: 0.35647553 M: 3 D: 3