ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ СОЛИТОН

-солитон с нетривиальной топологич. характеристикой (типа степени отображения, инварианта Хопфа и т. топологическим зарядом. В расширенном смысле (опуская присущее "истинным" солитонам свойство сохранения формы после столкновений) термин "Т.c." принято использовать как для обозначения топологически нетривиальных решений с конечными динамич. характеристиками в теории поля (кинков, монополей, инстантонов, скирмионов и т. д.), так и для модельного описания устойчивых неоднородных состояний (локализованных структур) в конденсированных средах: вихрей, дислокаций, дисклинаций, доменных стенок, точечных дефектов и т. п. ([1], [2]).

Простейшие (1 + 1)-мерные (пространственная координа-та+время) Т. - кинки [от англ. kink - изгиб, петля, узел; термин предложен Д. Финкельштейном (D. Finkel-stein) в 1966 ] описываются решениями вида

5025-70.jpg

синус-Гордона уравнения (здесь и далее 5025-71.jpg

5025-72.jpg

где j(x, t) - вещественная скалярная ф-ция, знак " + " в (1) соответствует к и н к у (знак "-" - а н т и к и н к у), находящемуся в момент времени t= 0 в точке x0 и движущемуся со скоростью uв направлении (соответственно - х для антикинка). Решения (1) удовлетворяют граничным условиям 5025-73.jpg (рис.1) и характеризуются топологич. зарядом

5025-74.jpg

равным +1 соответственно для кинка и антикинка. Энергия кинка (антикинка) 5025-75.jpg ограничена снизу величиной топологич. заряда 5025-76.jpg где с - константа, что обеспечивает его устойчивость в отношении распада на состояния с меньшей энергией (см. Устойчивость солитонов).

5025-77.jpg

Рис. 1. Кинк уравнения синус Гордона, локализованный в точке х = х0, движущийся со скоростью uвнаправлении +х. Заштрихована область изгиба функции j, где сосредоточена основная часть энергии кинка.

Для наглядной иллюстрации кинка синус-Гордона ур-ния рассмотрим упругую полоску, уложенную вдоль оси x и характеризуемую в каждой точке оси углом закручивания (отклонения от равновесного положения края полоски) j(x) (рис. 2, а). Ф-цию j(x) можно задать непрерывным образом в случае полоски конечной длины 0<=x<=l, если наложить периодические граничные условия 5025-78.jpg , т. е. отождествить концы полоски с точностью до 2p-кратного поворота. В результате получаем замкнутую полоску. Если до отождествления концов полоски повернуть один из них на угол 2p относительно оси х (к примеру по часовой стрелке), то после замыкания полоска будет содержать "скрутку" - кинк, к-рый не может быть устранён без разрыва полоски, т. е. будет сохраняться на протяжении всей последующей эволюции полоски (рис. 2, б). Для создания в полоске 2-кинкового состояния следует повернуть один из её концов (до отождествления) на угол 4p (рис. 2, в) и т.

Синус-Гордона ур-ние (2), в частности, применяется для описания распространения дислокаций в кристаллах, движения Блоха стенок в магнитоупорядоченных средах и доменных стенок в сегнетоэлектриках, распространения квантов магн. потока (флаксонов) в длинных джозефсонов-ских контактах (см. Джозефсона эффект )и т. д.

Др. примером (1 + 1)-мерных Т. 4 -модели с ур-нием

5025-79.jpg

где параметры l, m2>=0 Модель простейшим образом иллюстрирует явление спонтанного нарушения симметрии. Действительно, ур-ние (3) допускает два решения-константы 5025-80.jpg отвечающих нулевому уровню энергии 5025-81.jpg к-рые переводятся друг в друга (неинвариантны) при преобразованиях отражения 5025-83.jpg в то время как ур-ние (3) и соответствующий лагранжиан инвариантны при таких отражениях. В квантовом варианте указанным постоянным решениям отвечают два вырожденных вакуумных состояния 5025-84.jpg (см. Вырождение вакуума). Выбор любого из этих вакуумов приводит к теории со спонтанно нарушенной отражательной симметрией.

5025-82.jpg

Рис. 2. Состояния полоски и отвечающие им изменения функции f(x): а- топологически тривиальная полоска с малыми отклонениями от равновесного положения; б- полоска, содержащая 2p-"скрутку"-кинк; в- полоска, содержащая 4p-"скрутку" -2-кинк.

Помимо постоянных решений ур-ние (3) допускает кинковое (антикинковое) статическое решение (рис. 3)

5025-85.jpg

с энергией 5025-86.jpg локализованной в малой окрестности точки x0. При 5025-87.jpg решение (4) переходит в постоянные решения, а в точке обращения в нуль параметра нелинейности l решение (4) становится сингулярным, что свидетельствует о его непертурбативном характере [т.

5025-88.jpg

Рис. 3. Кинк (f4 -модели, локализованный в точке х =0.

Топологический заряд j4 -теории записывается в виде

5025-89.jpg

при этом Q=+1 для кинка (4) и Q=0 для постоянных решений. В классич. теории это означает, что кинк не может быть непрерывным образом деформирован ни к одному из тривиальных решений (требуется бесконечная энергия для преодоления бесконечно высокого потенц. барьера). На квантовом уровне закон сохранения топологич. заряда запрещает кинку распадаться либо посредством туннельного эффекта переходить в одно из вакуумных состояний. Все это позволяет интерпретировать кинки как устойчивые частицеподобные состояния.

Следующим важным свойством j4 -модели является наличие в ней вырожденных состояний с пространством вырождения (см. ниже) D = S0 (нульмерная сфера, состоящая, как известно, из двух точек, в данном случае 5025-90.jpg Это обстоятельство позволяет распространить как методы исследования, так и выводы j4 -модели на широкий круг объектов в физике конденсированных сред, таких, как твёрдые и жидкие кристаллы, ферромагнетики и антиферромагнетики, сверхпроводники и сверхтекучие жидкости Не 4 и Не 3 и т. д. Возможность применения топологии, методов к классификации дефектов (нарушений локального равновесия) вконденсированных средах замечена Г. E. Воловиком и В. П. Минеевым (1977) и основана на том, что во многих физически интересных ситуациях (примеры приведены ниже) можно говорить об установлении т. н. локального термодинамического равновесия. При этом можно говорить о темп-ре образца T как о ф-ции, зависящей от точки, а если состояния термодинамич. равновесия оказываются вырожденными при темп-pax ниже нек-рого кри-тич. значения T<Tc, то и др. характеристики конденсированных сред будут зависеть от точки (см. [3]). Естеств. предположение онепрерывности таких зависимостей позволяет описывать состояния конденсированных сред в терминах полевых переменных и соответственно использовать методы алгебраич. топологии (теорию гомотопий, теорию гомологии и когомологий, теорию расслоений и др.) для классификации состояний, установления закономерностей глобального характера, доказательства теорем существования солитонных решений и т. д.

Дефекты в конденсированных средах как T. с. Топологич. анализ дефектов не претендует на полноту описания физ. картины, в частности, он практически не даёт количественных ответов, к-рые по сути слабо зависят от реализуемой топологии. Тем не менее такой анализ позволяет простыми средствами выявлять те качественные особенности рассматриваемых явлений, к-рые должны быть приняты во внимание при более детальном описании. Напр., легко можно понять причину отсутствия топологически устойчивых образований в обычной жидкости. Как известно, вихри могут быть устойчивы лишь в идеальной жидкости (теорема Кельвина - Гельмгольца), а под влиянием вязкости такие вихри рассасываются. С точки зрения топологии причина состоит в том, что обычная жидкость не вырождена. В то же время квантованные вихри в сверхтекучем Не 4 топологически устойчивы именно в силу вырожденности осн. состояний. В результате никакое вязкое трение не может изменить кванта циркуляции сверхтекучей скорости Не 4; с др. стороны, рассасывание вихря означало бы расширение области дефекта (нарушения сверхтекучести), что энергетически невыгодно.

Во многих случаях для предсказания существования того или иного типа дефекта в образце конденсированной среды достаточно исследовать связность п р о с т р а н с т в а в ы р о ж д е н и я D - множества всех равновесных состояний образца при фиксиров. темп-ре T. Согласно теории Ландау фазовых переходов2-го рода, равновесное состояние образца определяется минимизацией функционала свободной энергии по множеству состояний, характеризуемых конечным числом параметров, называемых параметрами порядка теории. Рассматривая параметры порядка j(x )как непрерывные отображения, определённые в области 5025-91.jpg занимаемой образцом, и принимающие значения в пространстве вырождения D

5025-92.jpg

приходим к стандартной задаче теории гомотопий по классификации отображений (5). Математически 5025-93.jpg определяется как компактное связное многообразие с границей 5025-94.jpg а дефекты отождествляются с особыми (сингулярными) или неособыми точками, линиями и плоскостями, где параметры порядка j(x) не определены. Если тем или иным образом удаётся доопределить отображение j(x )так, что оно будет регулярным во всей области 5025-95.jpgто такие дефекты наз. у с т р а н и м ы м и. Наличие неустранимых особенностей в поле параметра порядка ведёт к пересмотру его области определения, т. е. вместо (5) рассматривают отображения вида

5025-96.jpg

здесь S-область дефекта (подмногообразие 5025-97.jpg), где параметры j(x) не определены регулярным образом.

В том случае, когда среда обладает точечными дефектами,Sбудет 0-мерным подмногообразием, состоящим из одной или нескольких особых точек внутри 5025-98.jpg Такие дефекты принято называть "ежами" по виду конфигурации параметра j(x) в окрестности особой точки. С топологич. точки зрения 5025-99.jpg иными словами, всегда возможно охватить область S сферой S2 (рис. 4, а), и вместо отображений (5а) рассматривать в качестве параметров порядка

5025-100.jpg

5025-102.jpg

Рис. 4. Типы дефектов в конденсированных средах и соответствующие им подмногообразия дефектов S: а- точечный дефект; б- линейный дефект; в- планар ный дефект.

Дальнейшая топологич. классификация дефектов проводится по стандартной схеме. Множество отображений (6) разбивается на гомотопич. классы [S2,D]i , 5025-101.jpg каждый из к-рых объединяет лишь те отображения из (6), к-рые переводимы друг в друга непрерывной деформацией (гомотопны между собой). Далее, на множестве гомотопич. классов 5025-103.jpg задаётся закон композиции, по отношению к к-рому классы [S2, D],· будут элементами 2-й г ом о т о п и ч е с к о й г р у п п ы p2(D) Результат анализа сводится к утверждению, что топологически стабильные точечные дефекты в конденсированных средах возможны в случае, когда 5025-104.jpgт. е. когда каждому гомотопич. классу можно поставить в соответствие нек-рое число N из бесконечной группы целых чисел 5025-105.jpg или одной из её конечных подгрупп. В применении к конденсированным средам вместо термина "гомотопический класс" употребляется термин "т о п о л о г и ч е с к и й т и п д е ф е к т а", а число N наз. т о п о л о г и ч е с к и м и н д е к с о м (или зарядом) д е ф е к т а. Др. следствием изоморфизма 5025-106.jpgявляется "арифметика дефектов" при их слияниях и распадах: индекс "составного" дефекта N должен быть равен сумме (точнее, одному из значений суммы, в силу возможной многозначности операции сложения) индексов N1. и N2 слагаемых дефектов при слиянии и образовавшихся дефектов при распаде.

Одномерные подмногообразия дефектов S состоят из одной или нескольких особых линий, к-рые либо замкнуты в 5025-107.jpg либо начинаются и заканчиваются на границе 5025-108.jpg (рис. 4, б). Такие линейные дефекты наз. "вихрями" или "струнами", а область S в любой точке можно охватить окружностью S1. В этом случае параметры порядка суть отображения

5025-109.jpg

гомотопич. классы [S1, D]i будут элементами 1-й г о м от о п и ч е с к о й (ф у н д а м е н т а л ь н о й) г р у п п ы p1(D). Для существования топологически стабильных линейных дефектов требуется наличие изоморфизма 5025-110.jpg Наконец, когда dimS=2 мы приходим к параметрам порядка типа

5025-111.jpg

характерных для среды с планарными дефектами типа "доменных стенок" (рис. 4, в). Классификация проводится на основе т. н. 0-й г о м о т о п и ч е с к о й г р у п п ы p0(D )и критеоий существования стабильных планарных дефектов 5025-112.jpg Т. N, аих стабильность обеспечивается топологией пространства вырождения. Это и является основанием для рассмотрения перечисленных дефектов как Т.

На языке топологии получает естеств. объяснение и наиб. известный линейный дефект в кристаллах - краевая дислокация, возникающая при образовании лишней кристаллич. полуплоскости в решётке (рис. 5). Предполагается, что на расстояниях в несколько постоянных решётки от линии AB кристаллич. порядок восстанавливается. Поскольку пространство вырождения не зависит от вида кристалла, то достаточно рассмотреть простейший кубич. кристалл и смещения лишь вдоль одной из осей, х, с периодом решётки а х. Состояния кристалла вырождены относительно сдвигов на а х, т. к. такой сдвиг приводит к совмещению кристалла с самим собой. Иными словами, концы отрезка [0, а х]отвечают одному и тому же состоянию, что позволяет их отождествить. Для смещений х, лежащих вне отрезка [0, а х], всегда найдётся эквивалентное смещение внутри того же отрезка. В результате приходим к пространству вырождения кристалла по оси х ввиде отрезка [0, а х] с отождествлёнными концами, что топологически эквивалентно окружности S1. Аналогичное вырождение состояний наблюдается и вдоль осей у и z, т. е. пространством вырождения кристалла в целом будет 5025-113.jpg - многообразие трёхмерного тора.

5025-115.jpg

Рис. 5. Краевая дислокация в кубическом кристалле с осями вдоль x, y и z. Линия дислокации, которая перпен дикулярна плоскости рисунка и изображена точкой А, является краем лишней полуплоскости. Замкнутый контур g отвечает обходу линии дислокации в положительном направлении. Дислокация характеризуется топологически ми индексами Nx=1, Ny=Nz=0и вектором Бюргерса b = а х е х, перпендикулярным линии дислокации.

Топологич. тип параметров порядка кристалла (в соответствии с приведённой выше схемой) будет характеризоваться группой 5025-114.jpg т. е. топологически устойчивые дисклинации в кристаллах обладают тремя целочисленными топологич. индексами Nx, Ny и Nz, каждый из к-рых сохраняется при распадах и слияниях дислокаций. Отметим, что закон сохранения трёх индексов Ni , i = х, у, z, эквивалентен закону сохранения вектора Бюр- герса 5025-116.jpg где еi - орт в направлении i- той оси. Поскольку топологич. тип линии дислокации не изменяется при непрерывных деформациях, то приведённый результат полностью переносится и на винтовые дислокации, к-рые топологически эквивалентны краевым. В изотропном ферромагнетике пространством вырождения является двумерная сфера D = S2. Действительно, при Т < Т C (точка Кюри) в ферромагнетике возникает спонтанная намагниченность с вектором намагниченности M, длина к-рого фиксируется темп-рой образца: |M|=M(T) Энергия ферромагнетика может зависеть как от величины M (собственно магн. энергия), так и от направления вектора M (т. н. энергия магнитной анизотропии). Поскольку энергия магн. анизотропии, как правило, пренебрежимо мала по сравнению с чисто магн. энергией, то для одного и того же энергетич. состояния ферромагнетика вектор M при заданной T может принимать все возможные направления. Каждому направлению нормированного на единицу вектора n=M(T)/M(T) (параметр порядка ферромагнетика) можно взаимно однозначно сопоставить точку на сфере S2 (последняя возникает как геом. место точек - концов вектора n). Следовательно, в изотропных магнети-ках с D = S2 могут существовать стабильные точечные дефекты ("ежи"), т. к. 5025-117.jpgВ то же время линейные и планарные дефекты в таком магнетике будут неустойчивы. При наложении однородных граничных условий на бесконечности (n = n0 при 5025-118.jpg) возникает эфф. компак-тификация пространства R3 т. е. 5025-119.jpg.В результате вместо (5) имеем о т о б р а ж е н и я Х о п ф а (Н. Hopf):

5025-120.jpg

классифицирующиеся по группе 5025-121.jpg

Простейшей нетривиальной конфигурацией поля в таком случае будет неособый кольцевой вихрь с инвариантом Хопфа QH=1 Правда, для стабилизации такого вихря к лагранжиану обычной сигма-модели требуется добавить члены 4-го порядка по производным n [4].

Для анизотропного ферромагнетика типа "лёгкая плоскость" вектор n лежит в нек-рой плоскости, и пространством вырождения в этом случае будет D = S1 (окружность). В таких образцах могут возникать устойчивые линейные дефекты - "вихри", т. к. 5025-122.jpg В полярных координатах (r, j) на плоскости вне области дефекта S параметр порядка можно представить в виде 5025-123.jpg , где a(r, j)-непрерывно меняющаяся фаза (угол между направлением M и нек-рым фиксиров. направлением в "лёгкой плоскости"). "Вихрем" будет такая особая линия, при обходе к-рой фаза меняется на 5025-124.jpg где N -т о п о л о г и ч е с к и й и н в а р и а н т "в и х р я" - целое число, показывающее, сколько полных оборотов при этом делает вектор n. На рис. 6, a изображён вихрь с N= 1, на рис. 6, бN = - 1, 6,в - с N = 0.

Наконец, в ферромагнетиках типа "лёгкая ось" равновесными пpи каждом значении T будут лишь два состояния M=+Mu (где u -единичный вектор в направлении "лёгкой оси" намагничивания), т. е. D = S0. В силу того, что p0(S0) =Z, можно говорить о допустимости T. с. типа "доменных стенок" в магнетиках типа "лёгкая ось". Динамика простейших "доменных стенок" описывается синус-Гордона ур-нием, Шрёдингера уравнением нелинейным и т. д. ([5], [6]).

Параметром порядка в нематических жидких кристаллах (или нематиках) служит директор d, указывающий преимущественное направление длинных осей вытянутых молекул нематика при нек-рой ТC (в отличие от вектора n, для директора направления d и - d физически неразличимы). [Название "нематик" предложено Ш. Фриделем (Ch. Friedel). ] Областью вырождения D (областью значений директора d )в трёхмерном нематике является вещественное проективное пространство RP2. (получаемое из сферы S2 отождествлением диаметрально противоположных точек). Соответственно допустимы стабильные точечные особенности ("ежи"), к-рые классифицируются группой 5026-1.jpg а их конфигурации и "арифметика" те же, что и для точечных дефектов в изотропном магнетике. Линейные дефекты - дисклинации в трёхмерном немати-ке - характеризуются группой 5026-2.jpg где 5026-3.jpg - подгруппа 5026-4.jpg задающая "двоичную арифметику" топологич. инвариантов дисклинации: 0 + 1 = 1; 1 + 1=0. В связи с этим устойчивыми будут лишь дисклинации с нечётным топологич. инвариантом - индексом Франка NF (рис. 6, г, д, е), а дисклинации с чётным индексом NF (рис. 6, а, б )будут неустойчивы, т. к. они имеют возможность "вытекать в третье измерение". И н д е к с Ф р а н к а определяется по аналогии с др. топологич. инвариантами как целое число NF, связанное с изменением фазы a вектора d при обходе по замкнутому контуру вокруг линии дисклинации соотношением a=pNF Заметим, что дисклинации, изображённые на рис. 6 ( г, д, е ), невозможны в ферромагнетиках, т. к. при этом поле n имело бы разрыв вдоль поверхности, опирающейся на особую линию. В нематиках они существуют лишь в силу неразличимости взаимно противоположных направлений директора d. B двумерных нематиках 5026-6.jpg и отсутствуют устойчивые точечные дефекты в силу p2(RP2)=0 В то же время в них реализуются как устойчивые структуры все типы дисклинации, изображённые на рис. 6, т. к. 5026-7.jpg Топологич. анализ дефектов в антиферромагнетиках проводится по аналогии с нематиками.

5026-5.jpg

Рис. 6. Вихревые дефекты в ферромагнетиках и дискли нации в нематиках (во всех случаях особые линии пер пендикулярны плоскости рисунков).


Для сверхтекучей компоненты Не 4 (см. Гелий жидкий, Квантовая жидкость )областью вырождения D состояний, описываемых волновой ф-цией y=|y|exp(ij) будет область возможных значений волновой ф-ции при фиксированном её модуле |y|. Физически это связано с т. н. Базе - Эйнштейна конденсацией бесспиновых атомов изотопа Не 4 в состоянии с наим. энергией жидкости при темп-ре ТC, т. е. с накоплением в одном и том же состоянии большого числа частиц квантовой жидкости. Если пренебречь слабым взаимодействием между атомами жидкости, то при T=0 oK в состоянии с мин. энергией будут находиться все без исключения частицы, что и позволяет описывать их одной и той же (не зависящей от координат частиц) волновой ф-цией y=|y|exp(ij). Нормированная волновая ф-ция Ф(x)=(y/|y|)ехр[ij(x)] в этом случае играет роль параметра порядка, т. е. на комплексной плоскости, область вырождения представляет собой окружность D = S1, вдоль к-рой меняется фаза j (вырождение состояний по фазе). На основании того, что 5026-8.jpg заключаем, что точечных дефектов в Не 4 нет; в то же время линейные дефекты - вихри в Не 4 - будут устойчивыми особенностями с целочисленными топологич. инвариантами.

Действительно, скорость течения сверхтекучей компоненты Не 4 выражается через градиент фазы 5026-9.jpg где m - масса атома Не 4. Циркуляция скорости выражается через изменение фазы dj при обходе линии вихря по произвольному замкнутому контуру g и равна 5026-10.jpg Однозначной волновая ф-ция F будет лишь при условии, что изменение фазы 5026-11.jpg т. е. имеет место квантование циркуляции скорости при обходе вокруг линии вихря. Поскольку dj=2pN при обходе по любому сколь угодно малому контуру g, это означает, что сама фаза не может быть однозначно определена на линии вихря, т. е. это действительно особая линия. Именно в силу квантования циркуляции интенсивность вихря лишена возможности уменьшаться непрерывным образом под действием вязкости. С др. стороны, запрещено возникновение вихрей с произвольной циркуляцией. Всё это и обеспечивает незатухающий характер сверхтекучего движения в Не 4. Значению N =0 соответствуют безвихревые, или потенциальные, течения Не 4. Топологич. свойства сверхпроводников совпадают со свойствами сверхтекучего Не 4.

Ситуация с топологически стабильными дефектами в Не 3 более сложная, т. к. параметром порядка в этом случае является комплексный тензор 2-го ранга Aik , i, k =1,2, 3. Это, в частности, есть отражение того факта, что в отличие от бозе-жидкости Не 4, Не 3 является ферми-жидкостью, допускающей существование анизотропных сверхтекучих фаз. Для B -фазы Не 3 пространство вырождения D топологически эквивалентно 5026-12.jpg Вычисления гомотопич. групп p2(D)=0 5026-13.jpg указывают на то, что в B -фазе Не 3 отсутствуют топологически стабильные точечные дефекты, а линейные дефекты - вихри - характеризуются набором из двух топологич. чисел.

Для A -фазы Не 3 пространство 5026-14.jpg Это означает, что пространство 5026-15.jpg -двулистное накрытие D, а, следовательно, односвязное пространство 5026-16.jpg - четырёхлистное накрытие D. В итоге для гомотопич. групп пространства вырождения параметра порядка A -фазы имеем 5026-17.jpg т. е. в A- фазе Не 3 точечные дефекты характеризуются целочисленным топологич. инвариантом, а для вихрей топологич. инвариант будет вычетом по модулю 4. Подобная структура фаз и топология дефектов предполагается и в нейтронных звёздах.

Динамика многомерных T. с. Топологич. анализ дефектов даёт лишь качественные ответы и необходимые критерии существования стабильных T. с. типа наличия изоморфизмов pk(D)=Z для пространств вырождения параметров порядка. При этом в роли параметров порядка могут фигурировать скалярные, комплексные, векторные и в общем случае тензорные поля. Количественное описание T. с. основывается на построении, как правило, нелинейных динамич. моделей, обладающих след. свойствами: (а) ур-ния Эйлера - Лагранжа модели допускают регулярные локализованные решения с конечными динамич. характеристиками (энергией, импульсом, моментом импульса и т. д.); (б) состояния наделены нетривиальными топологич. характеристиками Q (зарядами, индексами и т. д.); (в) функционал энергии модели оценивается снизу через топологич. инвариант 5026-18.jpg с = const, что обеспечивает динамич. устойчивость T. с.

В и х р и Н и л ь с е н а - О л е с е н а (H. В. Nielsen, P. Оlеsen, 1973). Динамич. описание линейных дефектов типа вихря возможно, напр., в рамках т. н. абелевой калибровочной модели Хиггса (P. W. Higgs, 1964; см. Хиггса механизм )с калибровочной группой U(1) и лагранжианом

5026-19.jpg

где 5026-20.jpg означает комплексное сопряжение, 5026-21.jpg - тензор напряжённости эл.-магн. поля, 5026-22.jpg - ковариантная производная, a0 = const. Комплексное хиггсовское поле 5026-23.jpg можно рассматривать, напр., как параметр порядка сверхпроводящей среды, а пространство вырождения в этом случае совпадает с многообразием классич. вакуумов |j|2=a20, т. е. D=S1, На этом основании можно предположить наличие стабильных T. с. типа вихрей, т. к. 5026-24.jpg Ур-ния Эйлера - Лагран-жа для (7)

5026-25.jpg

действительно допускают вихревые решения, т. н. вихри Нильсена - Олесена, на статических цилиндрически-симметричных полевых конфигурациях

5026-26.jpg

где 5026-27.jpg q=arctg(x2/x1). Естественное условие отсутствия токов на бесконечности 5026-28.jpg при 5026-29.jpg влечёт в силу (8) и (9) 5026-30.jpg В результате магн. поток F через плоскость (x1, x2 )запишется как

5026-31.jpg

Требование однозначной определённости поля Хиггса j выполнено тогда (и только тогда), когда при обходе линии вихря по любому замкнутому контуру g фаза c изменяется на 2pN, следовательно,

5026-32.jpg

В результате магн. поток оказывается квантованным (без привлечения к.-л. постулата о квантовании) с квантом потока 2p/e. Аналогичное свойство присуще вихрям магн. потока в сверхпроводниках 2-го рода (см. Решётка вихрей Абрикосова )(с заменой 5026-33.jpg в силу Купера эффекта), т. к. в статическом пределе абелева модель Хиггса сводится к Гинзбурга- Ландау теории сверхпроводимости [7].

Вихри с N квантами магн. потока описываются решениями вида (9) ур-ний (8), к-рые при c=Nq удовлетворяют системе обыкновенных дифференц. ур-ний:

5026-34.jpg

Из требования конечности энергии, приходящейся на единицу длины вихря, выводится асимптотич. поведение ф-ций f(r) и B(r) на пространственной бесконечности:

5026-35.jpg где m,

h-константы, 5026-36.jpg -длина когерентности, задающая масштаб изменений скалярного поля, 5026-37.jpg - глубина проникновения (характерный масштаб для магн. поля), T. о., вне линии вихря f(r) и B(r) экспоненциально убывают с увеличением расстояния. Помимо точного (чисто калибровочного) решения f(r)=a0,

B(r)=(N/er) известны лишь численные решения ур-ний (10). По величине безразмерного параметра Гинзбурга - Ландау 5026-38.jpg свеохпооводники можно разбить на два класса: условием 5026-39.jpgвыделяются сверхпроводники первого рода; при 5026-40.jpg имеем сверхпроводники второго рода. Устойчивые вихри характерны лишь для сверхпроводников 2-го рода, т. к. при 5026-41.jpg между вихрями возникают силы притяжения, под действием к-рых они коллапсируют. Напротив, при 5026-42.jpg между вихрями возникают силы отталкивания, приводящие к образованию треугольных решёток с единичными (несущими один квант магн. потока) вихрями в узлах. Поскольку при 5026-43.jpg энергия (на единицу длины) N -вихревой конфигурации 5026-44.jpg где 5026-45.jpg -энергия (на единицу длины) единичного вихря, то такая конфигурация оказывается неустойчивой и распадается на N отдельных единичных вихрей, что и подтверждается экспериментом. (В сверхтекучих жидкостях, по аналогичным причинам, устойчивыми и наблюдаемыми являются лишь вихри с единичным топологическим числом.) В случае 5026-46.jpg ур-ния (10) редуцируются к системе 1-го порядка:

5026-47.jpg

Из (11) для энергии N -вихря, т. N квантов магн. потока, выводится следующее выражение через энергию единичного вихря: 5026-48.jpg что свидетельствует об 5026-49.jpg отсутствии взаимодействия между вихрями при

В и х р и Б е л а в и н а - П о л я к о в а (А. А, Белавин, A. M. Поляков, 1975) - T. с., обнаруженные в т. н. нелинейной O(3)-модели n -поля n(x, t){na(x,t), a=1, 2, 3; 5026-50.jpg где п a - действительные скалярные поля, подчинённые условию

5026-51.jpg

т. S2. Динамика модели задаётся лагранжианом

5026-52.jpg

и ур-нием связи (12). Ур-ния Эйлера - Лагранжа находятся как условие экстремума действия для (13), где связь (12) учтена введением множителя Лагранжа, в итоге для статических полей имеем

5026-53.jpg

Состояния с нулевой статической энергией 5026-54.jpg ("классич. вакуумы"), где

5026-55.jpg

получаются из условия д in=0 т. поле n(x) =n0 где n0 - нек-рый фиксированный единичный вектор с произвольной ориентацией. Иными словами, модель содержит вырожденное непрерывное семейство "классич. вакуумов", переводимых друг в друга преобразованиями (вращениями) из группы O(3), т. D=S2. Солитонные решения с ненулевой, но конечной энергией (14) - T. с.- должны удовлетворять граничным условиям

5026-57.jpg

в силу к-рых пространство R2 пополняется бесконечно удалёнными точками и эффективно компактифицируется 5026-58.jpg , т. е. T. с. следует искать среди отображений п( х):5026-59.jpg . Такие отображения классифицируются группой 5026-60.jpg с определённым значением топологич. заряда

5026-61.jpg

где скалярное и векторное произведения относятся к векторам n, eik - Леви-Чивиты символ. Из тождества

5026-62.jpg

с учётом (14), (15) находится оценка для энергии T. с.:

5026-63.jpg

обеспечивающая его устойчивость в каждом гомотопич. классе. В случае равенства в (16) минимум энергии (14) реализуется на решениях т.

5026-64.jpg

к-рые в координатах стереографич. проекции

5026-65.jpg

представляют собой условия Коши - Римана:

5026-66.jpg

T. о., любая аналитическая функцияw(z )или w(z*) где 5026-67.jpg записанная в переменных п a и х, удовлетворяет ур-ниям (17). Напр.,

5026-68.jpg

описывает T. с. нелинейной O(3)-модели с топологии, зарядом Q=N т. N- вихри Белавина - Полякова. Здесь l -любое действительное число, n - любое положительное целое число, z0 - произвольное комплексное число. Считая поле n спиновой переменной, нелинейную O(3)-модель можно рассматривать как вариант Гейзенберга модели планарного магнетика. Статические решения (18) в (2+1)-измерениях переносятся и на случай O(3)-модели в (1+1)-измерениях, где они реализуются как инстантоны[1]. В (3+1) измерениях для возможных Т. в виде (14) не имеет места оценка (16) и 5026-70.jpg где R - радиус кольца. Следовательно, минимум энергии достигается при 5026-71.jpg что свидетельствует о нестабильности кольцевого вихря. Ситуация исправляется, напр., добавлением в (13) членов более высокого порядка по градиентам n -поля.

Т о р о н ы Р ы б а к о в а (Ю. П. Рыбаков, 1981) - T. с. в виде замкнутых "закрученных" струн с нетривиальным индексом Хопфа-реализуются в т. n -поля в (3+1)-измерениях, где n(x, t )-поле определено на 5026-72.jpg и подчинено условиям

5026-73.jpg в силу к-рых его можно представить как отображение 5026-74.jpg Соответственно n -полевые конфигурации классифицируются элементами группы 5026-75.jpg Лагранжиан модели

5026-76.jpg

где e,l,m -постоянные параметры,

5026-77.jpg

Массовый член т 2 (1- n3) добавляется в (19) для обеспечения требуемого асимптотич. поведения полей на бесконечности. Топологич. инвариант модели - индекс Хопфа QH вычисляется по ф-ле

5026-78.jpg

и для энергии имеет место оценка

5026-79.jpg

обеспечивающая стабильность неособых вихрей в рамках модели Фаддеева (19). Минимум энергии реализуется на аксиально-симметричной конфигурации (тороне), к-рую удобно записывать в угловых переменных b, g на S2: b=b(r, z), g=la+u(r, z), где l -целое число, r, a, z - цилиндрич. координаты, u(r, z) -нек-рая новая переменная, и для регулярных решений 5026-80.jpg при 5026-81.jpg Это свидетельствует о тороидальной структуре T. с. в модели Фаддеева, представляющих собой замкнутые "закрученные" струны (или неособые кольцевые вихри). Математически существование таких T. с. доказано, однако не известно ни одного точного решения ур-ний поля модели. Подобные локализованные структуры возникают в изотропных маг-нетиках, в физике элементарных частиц (модель тяжёлых мезонов), в астрофизике и т. д. [8].

М о н о п о л и т Х о о ф т а - П о л я к о в а (G. 't Hooft, A. M. Поляков, 1974) возникают как T. с. в (3+1) измерениях при обобщении калибровочной модели Хиггса (7) на случай неабелевой калибровочной группы, напр. группы SU(2 )(см. Магнитный монополь, Калибровочные поля). Лагранжиан выбирается в виде (7) со след. изменениями:

5026-82.jpg

5026-83.jpg вместо комплексного рассматривается изо-векторное хиггсовское поле fa(x), а =1, 2,3. Т.c. реализуются как сферически-симметричные статические конфигурации вида

5026-84.jpg

где ф-ции g (r), h (r )находятся как решения системы:

5026-85.jpg

отвечающие след. поведению калибровочного Aai и изовек-торного ja полей на границе R3:

5026-86.jpg

Выбор нетривиальных условий (23), с одной стороны, обеспечивает конечность энергии 5026-87.jpg с другой - позволяет полям ja(x) принимать разл. направления (во внутр. изото-пич. пространстве, см. Изотопическая инвариантность )в бесконечно удалённых точках, т. к. 5026-88.jpg Поскольку граница пространства R3 может быть отождествлена с "пространственной" сферой S2, а поля 5026-89.jpg принимают значения на "полевой" сфере S2, то естественно рассматривать их как регулярные отображения, классифицируемые группой 5026-90.jpg Топологич. инвариант модели в этом случае связан с магн. зарядом монополя, что подтверждается с помощью калибровочно инвариантного тензора эл.-магн. поля т' Хоофта

5026-91.jpg

к-рый на конфигурации (21) равен 5026-92.jpg , а магн. поле 5026-93.jpg в точности совпадает с полем точечного монополя с магн. зарядом qm=1/e. В отличие от электродинамики Максвелла тензор (24) имеет дуальный тензор с ненулевой дивергенцией и, как следствие,

5026-94.jpg

Видно, что (1/e)Jm имеет смысл магн. тока, в то время как Jm- топологич. ток. Действительно, из (25) следует, что магн. поле В подчиняется ур-нию 5026-95.jpgоткуда по теореме Гаусса - Остроградского получаем соотношение между топологич. инвариантом Q [для отображений из 5026-96.jpg он наз. и н д е к с о м К р о н е к е р а (L. Kronecker)] и магнитным монопольным зарядом 5026-97.jpgT. о., магн. заряд монополя имеет топологич. природу, а его квантование возникает как чисто классич. эффект [1], [2], [7].

Точные решения системы (22) известны лишь для одиночного монополя в пределе 5026-98.jpg -т. a0, и равны:

5026-99.jpg

В этом пределе для энергии модели справедлива оценка и равенство в (26) достигается на решениях ур-ний Богомольного 5026-101.jpg описывающих конфигурации с мин. энергией при любом значении Q. Из (26) следует, что монополи должны обладать массой 5026-102.jpg к-рая растёт с уменьшением константы взаимодействия е и по оценкам должна быть порядка 1016 ГэВ. При 5026-103.jpg возможность существования T. с. подтверждена лишь прямыми вариационными методами (Ю. С. Тюпкин, В. А. Фатеев, А. С. Шварц, 1976) и численными расчётами. Помимо монопольных решений модель допускает т. н. д и о н ы Джулиа - Зи (В. Julia, A. Zee, 1975), т. Великого объединения и могут выступать в роли катализатора распада протона - эффект Каллана - Рубакова (В. А. Рубаков, 1981; С. G. Callan, 1982), но до сих пор не обнаружены экспериментально.

5026-100.jpg


Другими известными примерами T. с. в (3 + 1) измерениях являются инстантоны и скирмионы. И н с т а н т о н ы обнаружены (А. А. Белавин, A. M. Поляков, Тюпкин, Шварц, 1975) как частицеподобные решения в евклидовом, чисто калибровочном варианте лагранжиана предыдущей модели, т. Янга- Миллса поля Am. рассматриваются в мнимом времени. Пространство-время Минковского при замене 5026-104.jpg где x0 - вещественная переменная, эквивалентно евклидову 4-мерному пространству. Термин "инстантон" (от англ. instant - мгновенный, немедленный; момент) предложен т'Хоофтом для обозначения T. с., к-рые, в отличие от вышеописанных солитонов, локализованы не только в пространстве, но и во времени. В силу своих особых свойств инстантоны могут осуществлять мгновенные переходы между полями с разной топологией, что имеет существенное значение в процессах перестройки вакуумов в квантовой хромодинамике и других калибровочных теориях.

С к и р м и о н ы - T. с. нелинейной сигма-модели со спонтанно нарушенной киральной симметрией, предложенной T. X. P. Скирмом (T. H. R. Skyrme, 1961; см. Скирма модель). Изначально скирмионы предназначались для описания барионов как протяжённых локализованных структур с нетривиальным топологич. зарядом Q (типа степени отображения 5026-105.jpg к-рый интерпретировался как бари онное число. При этом модель Скирма оказалась достаточно удачным и простым прообразом эффективной мезонной

теории (пока неизвестной и труднодоступной), к к-рой должна сводиться теория сильных взаимодействий (квантовая хромодинамика) в низкоэнергетич. секторе. В рамках этой достаточно простой модели удаётся удовлетворительным образом описывать как спектроскопию основных состояний адронов, так и их взаимодействия. Позже выяснилось, что на основе модели Скирма и её модификаций, таких, как модель Скирма - Мантона (N. S. Manton, 1987), можно получать разумные ответы как в высокоэнергетич. физике адронов, так и при описании плотной ядерной материи. В частности, можно получить оценку для плотности энергии ядерной материи

5026-106.jpg

где 5026-107.jpg - плотность числа частиц, V- объём, занимаемый материей, l, e-параметры модели.

Оценка хорошо согласуется с выводами теории кварк-глю-онной плазмы. Другим предсказанием модели является то, что по мере уплотнения системы изолированных скирми-онов они вначале образуют гранецентрир. кубич. решётку с нек-рой постоянной a', затем скирмионы начинают расширяться, теряют свою индивидуальность, и при дальнейшем уплотнении происходит фазовый переход системы в конденсированное состояние. При этом имеет место эффект уменьшения энергии (массы), приходящейся на один скирмион, достигающий предельного значения при нек-ром a'=a'0 [9], [10].

Одной из наиб. привлекательных особенностей модели Скирма является реализованный в её рамках механизм построения фермионных состояний (нуклонов) из бозон-ных полей (мезонов), т. Парастатистика). Такие T. с. известны также под назв. а н и о н ы (от англ. any - всякий, любой). Термин предложен Ф. Вилчеком (F. Wilczek, 1982) и отражает факт допустимости практически любого дробнозначного спина у таких частиц, к-рые используются в моделях высокотемпературной сверхпроводимости (см. Оксидные высокотемпературные сверхпроводники). В теории квантового Холла эффекта также рассматриваются T. с. с дробным спином под назв. "холлоны", в гравитации - "геоны" и т. д.

T. с. с д р о б н ы м с п и н о м. Проиллюстрируем появление Т. где J0 - временная компонента сохраняющегося независимо от динамики модели топологич. тока

5026-109.jpg(27)

Закон сохранения 5026-110.jpg позволяет переписать ток (27) в виде ротора от нек-рого вспомогательного калибровочного поля Am:

5026-111.jpg

Далее, вместо (13) можно записать лагранжиан

5026-112.jpg

(g- нек-рая константа взаимодействия), из к-рого соотношение (28) получается как ур-ние Эйлера - Лагранжа в отношении Am, если считать данное поле независимым. В подходящей калибровке (напр., д iAi=0) интегрирование по вспомогательному (не динамическому) полю Am приводит к эфф. действию

5026-113.jpg

где 5026-114.jpg -вещественный параметр, возникающий в (29) как коэф. при топологич. члене, в к-ром легко узнать индекс Хопфа (20), переписанный в виде 5026-115.jpg Действия вида (29) известны в калибровочных теориях (в частности, в квантовой хромодинамике) под назв. "Q-действие ". Его происхождение связано с локальной калибровочной инвариантностью гамильтонианов в таких теориях, вследствие чего собств. ф-ции для заданного значения энергии определяются с точностью до постоянного сдвига фазы. Соответственно гильбертово пространство теории разбивается на секторы, нумеруемые непрерывным параметром Q, и в каждом из них есть своё вакуумное состояние ( "Q-вакуум ") и построенные над ним "Q -миры ". Эти "Q-миры " не сообщаются друг с другом в силу суперотбора правил, однако связь между ними возможна за счёт инстантонного туннелирования (подробно см, в [1]).

Формально топология, член в (29) аналогичен члену Черна (Чжэня)- Саймонса (S. S. Chern, J. Simons, 1971) в топологических квантовых теориях поля, и именно его присутствие обеспечивает наличие дробнозяачного полного утл. момента (и, соответственно, спина) в моделях такого рода. При нечётном числе измерений пространства-времени d можно задать т. н. д е й с т в и е Ч е р н а - С а йм о н с а SCS как интеграл от d -формы по d -мерному пространственно-временному многообразию 5026-116.jpg так что SCS не зависит от пространственно-временной метрики и является инвариантом в отношении диффеоморфизмов многообразия М d . В простейшем нетривиальном случае d=3 = 2+1 и 3-форма w3 (см. Дифференциальная форма )выражается через 1-формы связности 5026-117.jpg в виде

5026-118.jpg

что даёт для действия Черна - Саймонса выражение (с подходящим нормировочным коэф.)

5026-119.jpg

В силу соотношений (27) и (28) ясно, что (30) можно переписать через компоненты n -поля в нек-рой фиксированной калибровке и понимать индекс Хопфа в действии (29) как член, описывающий эфф. дальнодействие между фундаментальными n -полями. Используя действие Черна- Саймонса типа (29), удаётся получить описание аномалий в калибровочных теориях, в частности в квантовой хромодинамике [11]. Рассматривая стандартное действие для полей Янга - Миллса с добавленным членом Черна - Саймонса, описывают массивные векторные бозоны - "топологические массивные калибровочные теории" с "топологической массой", индуцируемой SCS. Если действие для полевой теории выбирается просто в виде действия Черна - Саймонса типа (30), то такие свободные от метрики теории, получившие назв. "топологические теории поля", оказываются точно решаемыми, обладают более широкими группами симметрии и по этой причине активно используются в совр. теориях струн (см. Струн теория), суперструн, супергравитации, в конформных теориях поля, втеории узлов и т. д. [12].

Вернёмся к идее экзотических спинов и статистик, где определяющую роль играет наличие в действии (29) члена Черна - Саймонса (30). Будем адиабатически поворачивать T. с. на угол 2p за период времени T. В результате такого поворота волновая ф-ция приобретает множитель exp(iS), где S- соответствующее классич. действие. Полный угл. момент T. с. J определяется соотношением 5026-120.jpg и для стандартного действия s-модели [первый член в ф-ле (29), имеющий порядок 5026-121.jpg при 5026-122.jpg получаем J= 0. Простые выкладки показывают, что для действия (2+1)-мерного T. с. в виде (29) полный угл. момент

5026-123.jpg

где QH -индекс Хопфа, 5026-124.jpg - целочисленное значение стандартного орбитального угл. момента, в то время как второй член свидетельствует о том, что спин T. с. принимает дробные значения. Значение Q определяется, как правило, из феноменологич. соображений, индекс Хопфа принимает только целочисленные значения, поэтому при Q/p=2N спин T. с. будет целым, при Q/p=2N+1-полуцелым, во всех др. случаях - дробнозначным.

Лит.:1) Раджараман Р., Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля, пер. с англ., M., 1985; 2) Шварц А. С., Квантовая теория поля и топология, M., 1989; 3) Воловик Г. E., Минеев В. П., Физика и топология, M., 1980; 4) Косевич A. M., Иванов Б. А., Ковалев А. С., Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны, К., 1983; 5) Додд Р. и др., Солитоны и нелинейные волновые уравнения, пер. с англ., M., 1988; 6) Makhankov V. G., Soliton phenomenology, Dordrecht-[а. о.], 1990; 7) Райдер Л., Квантовая теория поля, пер. с англ., M., 1987; 8) Рыбаков К). П., Устойчивость многомерных солитонов в киральных моделях и гравитации, в кн.: Итоги науки и техники, сер. Классическая теория поля и теория гравитации, т. 2, M., 1991; 9) Маханьков В. Г., Рыбаков Ю. П., Санюк В. И., Модель Скирма и сильные взаимодействия, "УФН", 1992, т. 162, № 2, с. 1; 10) Makhankov V. G., Rybakov Y. P., Sanyuk V. L, The Skyrme model. Fundamentals, methods, applications, B.- L., 1993; 11) Морозов А. Ю., Аномалии в калибровочных теориях, "УФН", 1986, т. 150, в. 3, с. 337; 12) Balachandran A. P. et al.. Classical topology and quantum states, Singapoore, 1991. В. И. Санюк.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия..1988.



Физическая энциклопедия 

ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД →← ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ

T: 0.394757502 M: 3 D: 3